函数与基本初等函数之函数及其表示

 1.函数及其表示

·课标解读：

  内容标准：通过大量的例子让学生用对应的观点来理解函数，用映射的观点理解函数。

  行为目标：1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

            2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

            3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

·考纲精析：考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用。

            命题热点：1.以考察函数的概念、三要素及表示方法为主.

                      2.分段函数是近几年高考考查的热点。

·学情分析：重点：在映射的基础上理解函数的概念；对函数图象的分析。

            难点：对函数符号f（x）的理解；通过函数的解析式分析函数的图象。

            关键：通过大量的例子让学生用对应的观念来理解函数，用映射的观念理解函数；列表、描点、连线，动手作图，总结规律。

·高考真题：

例1(1)函数 的定义域为(    )

(A)［-4,1］              (B)［-4,0)

(C)(0,1］                (D)［-4,0)∪(0,1］

(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.

解析： (1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使函数解析式有意义的x的集合，先列出不等式(组)，然后再解不等式(组)，求出解集；(2)注意在对应法则f下，函数f(2x+1)中2x+1 的范围与函数f(x)中x的范围相同.

解答：(1)选D.

要使 有意义，则有：

 x≠0

 -x2-3x+4≥0 ，

解得：-4≤x＜0或0＜x≤1.

所以所求函数的定义域为［-4，0)∪(0，1］.

(2)∵函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，

∴1＜2x+1＜3,

∴f(x)的定义域为(1,3).

例2试判断以下各组函数 是否表示同一函数？

（1）f（x）= ，g（x）= ；

（2）f（x）= ，g（x）=

（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；

（4）f（x）= ，g（x）= ；[来源:学科网ZXXK][来源:学*科*网Z*X*X*K]

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

解：（1）由于f（x）= =|x|，g（x）= =x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；

（2）由于函数f（x）= 的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）= 的定义域为R，所以它们不是同一函数；

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，

∴f（x）= =x，g（x）=（ ）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；

（4）由于函数f（x）= 的定义域为{x|x≥0}，而g（x）= 的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数

注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数 若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

例3（1）已知 ，求 ；

（2）已知 ，求 ；

（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；

（4）已知 满足 ，求 ；

解：（1）配凑法：∵ ，

∴ （ 或 ）；

（2）换元法：令 （ ），则 ，

∴ ， ；

（3）待定系数法：设 ，

则 ，

∴ ， ，

∴ ；

（4）方程组法：    ①

把①中的 换成 ，得    ②，

① ②得

∴ 。

提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意义的x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.

·基础过关

1.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是（     ）

A. 75，25                    B. 75，16          C. 60，25             D. 60，16

【答案】D

【解析】由条件可知， 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即 ， ，选D。

2.（福建文8）已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于（     ）

       A．－3    B．－1    C．1    D．3

【答案】A

3.（广东文4）函数 的定义域是   （     ）                       

A．     B．          C．     D．

【答案】C

4.（广东文10）设 是R上的任意实值函数．如下定义两个函数 和 ；对任意 , ； ．则下列等式恒成立的是（     ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

5.（江西文3）若 ，则 的定义域为  (     )

    B.     C.     D.

【答案】C    

【解析】

6.（江西理3）若 ，则 定义域为（     ）

A.        B.       C.     D.

【答案】A

【解析】由 解得 ，故 ，选A

7.（辽宁理9）设函数 ，则满足 的x的取值范围是（     ）

       A． ，2]       B．[0，2]   C．[1，+ ]       D．[0，+ ]

【答案】D

8.（浙江理1）已知 ，则 的值为（     ）

A．6                B．5               C．4               D．2

【答案】B

9.（陕西文11）设 ，则 ______.

【答案】

【分析】由 算起，先判断 的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断 作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．

【解析】∵ ，∴ ，所以 ，即 ．

10.（陕西理11）设 ，若 ，则 _________．

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从 算起是解答本题的突破口.

【解析】因为 ，所以 ，又因为 ，

所以 ，所以 ， ．

【答案】1

11.（安徽文13）函数 的定义域是_______________.

【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由 可得 ，即 ，所以 .

12（2010陕西文数）已知函数f（x）＝ 若f（f（0））＝4a，则实数a＝    .

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

13．求下列函数的解析式：

(1)已知f＝2，求f(x)；

(2)已知f(x＋3)＝x2－2x＋3，求f(x)；

(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．

[解析]　(1)∵f(x－)＝2

＝2＋4，

∴令x－＝t，∴f(t)＝t2＋4，

∴f(x)＝x2＋4.

(2)令x＋3＝t，∴x＝t－3，

又f(x＋3)＝x2－2x＋3，

∴f(t)＝(t－3)2－2(t－3)＋3＝t2－8t＋18，

∴f(x)＝x2－8x＋18.

(3)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)－f(x)＝2x，得

a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x，

化简整理，得2ax＋(a＋b)＝2x，

∴，解得，

∴f(x)＝x2－x＋1.

14．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并对任意实数x、y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．

[解析]　解法一：由f(0)＝1，f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，

令x＝y，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，

即f(x)－x(2x－x＋1)＝1，

∴f(x)＝x2＋x＋1.

解法二：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1－y(－y＋1)．再令x＝－y，代入上式得，f(x)＝1－(－x)·(x＋1)＝x2＋x＋1，

∴f(x)＝x2＋x＋1.

15．求函数f(x)＝的定义域和值域．

[解析]　当0<x≤5时，y＝4x，∴0<y≤20；

当5<x≤9时，y＝20；

当9<x<14时，y＝56－4x，∴0<y<20.

又∵(0,20]∪{20}∪(0,20)＝(0,20]，

∴函数f(x)的定义域为(0,5]∪(5,9]∪(9,14)＝(0,14)，

函数f(x)的值域为(0,20]．

16．已知f(x)＝，

(1)求f[f(－2)]的值；(2)若f(a)＝2，求a的值．

[解析]　(1)∵f(－2)＝－2＋5＝3，

∴f[f(－2)]＝f(3)＝2×3＝6.

(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝2，∴a＝－3；

当－1<a<1时，f(a)＝a2＝2，∴a＝±(舍去)；

当a≥1时，f(a)＝2a＝2，∴a＝1.

综上可知a的值为－3或1.

17．已知函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式．

[解析]　当x∈[0,1]时，设f(x)＝kx(k≠0)，

将点代入，得＝k，∴f(x)＝x.

当x∈[1,2]时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将、(2,0)代入，得，解得a＝－，b＝3，

∴f(x)＝－x＋3.

∴f(x)＝.