函数与基本初等函数之函数的基本性质

2.函数的基本性质

•课标解读：

  内容标准：掌握函数单调性、奇偶性的概念、判断方法和图像特征。

  行为目标：1. 理解函数的单调性，学会运用函数单调性的定义来判断函数的单调性、最值及其几何意义；

            2. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

•考纲精析：考纲要求：理解函数的单调性及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

            命题热点：1. 函数单调性的判断及其应用是函数的核心内容之一，是高考考查的热点。近几年常以导数为工具研究函数的单调性，并以解答题得形式考查。

                      2.函数奇偶性的判断及其应用是高考考查热点，常与函数的单调性、最值结合考查，以选择、填空题居多。

•学情分析：重点：函数的单调性的概念和判断某些函数的增减性的方法；函数的奇偶性及图像特征。

            难点：函数单调性的判断或证明；函数奇偶性的判断。

            关键：综合应用不等式、因式分解、配方法及数形结合等思想方法；

•高考真题：

1. （2010江苏卷）11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是__ ___。

[解析] 考查分段函数的单调性。 

2（2010北京文数）给定函数① ，② ，③ ，④ ，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（A）①②   （B）②③    （C）③④    （D）①④

答案：B

3（2011安徽理3） 设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 

 （A）         (B)        （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）3

【答案】A

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.

【解析】 .故选A.

4.（2011湖北理6）已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 

 ，若 ，则 

A.        B.       C.        D.  

【答案】B

【解析】由条件 ， ，即

 ，由此解得 ， ，

所以 ， ，所以选B.

•基础过关

1.（2011福建理9）对于函数  (其中， )，选取 的一组值计算 和 ，所得出的正确结果一定不可能是                              

 A．4和6  B．3和1  C．2和4  D．1和2

【答案】D

2.（2011福建理10）已知函数 ，对于曲线 上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：                                                 

 ①△ABC一定是钝角三角形

 ②△ABC可能是直角三角形

 ③△ABC可能是等腰三角形

 ④△ABC不可能是等腰三角形

 其中，正确的判断是

 A．①③   B．①④   C．②③   D．②④

【答案】B

3.（2011广东理4）设函数 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是  

A． +|g(x)|是偶函数                B． -|g(x)|是奇函数

C．| | +g(x)是偶函数               D．| |- g(x)是奇函数

【答案】A

【解析】因为 g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而 +|g(x)|是偶函数,故选A.

4.（辽宁文6）若函数 为奇函数，则a=                         

 A．      B．         C．        D．1

【答案】A

5.（全国Ⅰ理2）下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是                   

（A）    (B)     （C）    (D)   

【答案】B

6. (全国Ⅰ理12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于     （A）2           (B) 4         (C) 6          (D)8

【答案】D

7. (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x 0），则=                   

   （A）        （B） 

（C）  （D） 

【答案】B

8.（全国Ⅱ理9）设 是周期为2的奇函数，当 时， ，则 

(A)            (B)          (C)           (D) 

【答案】A

【命题意图】：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

【解析】 。

9.（山东理10）已知 是 上最小正周期为2的周期函数，且当 时, ,则函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为

（A）6    （B）7     （C）8      （D）9

【答案】A

【解析】因为当 时,  ,又因为 是 上最小正周期为2的周期函数，且 ,所以 ,又因为 ,所以 , ,故函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为6个,选A.

10.（陕西理3）设函数 （ R）满足 ， ，则函数 的图像是                                                          （  ）

【答案】B

【分析】根据题意，确定函数 的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．

【解析】选由 得 是偶函数，所以函数 的图象关于 轴对称，可知B，D符合；由 得 是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

11.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数是（   ）

（A） .     （B） .     （C） .     （D） .

【答案】A

12（2010江西理数）给出下列三个命题：

①函数 与 是同一函数；

②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数 与 的图像也关于直线 对称；

③若奇函数 对定义域内任意x都有 ，则 为周期函数。

其中真命题是

A. ①②       B. ①③         C.②③        D. ②

【答案】C

【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,  ,又通过奇函数得 ，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。

13（2010重庆理数）函数 的图象

A. 关于原点对称   B. 关于直线y=x对称  C. 关于x轴对称  D. 关于y轴对称

解析：    是偶函数，图像关于y轴对称

14（2010山东文数）设 为定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则 

（A）-3       （B）-1          （C）1               (D)3

答案：A

15（2010北京文数）若a,b是非零向量，且 ， ，则函数 是

   （A）一次函数且是奇函数      （B）一次函数但不是奇函数

   （C）二次函数且是偶函数      （D）二次函数但不是偶函数

答案：A

16（2010天津文数）下列命题中，真命题是

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

【答案】A

【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.

【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。

17（2010广东理数）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

A．f（x）与g（x）均为偶函数              B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

C．f（x）与g（x）均为奇函数              D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

D． ．

18（2010广东文数）若函数 与 的定义域均为R，则

A.  与 与均为偶函数     B. 为奇函数， 为偶函数

C.  与 与均为奇函数     D. 为偶函数， 为奇函数

解:由于 ,故 是偶函数,排除B、C

19（2010山东理数）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)= +2x+b(b为常数)，则f(-1)=

(A) 3             (B) 1              (C)-1                (D)-3

【答案】D

20.（四川理16）函数 的定义域为A，若 且 时总有 ，则称 为单函数．例如，函数 =2x+1( )是单函数．下列命题：

①函数 （x R）是单函数；

②若 为单函数， 且 ，则 ；

③若f：A→B为单函数，则对于任意 ，它至多有一个原象；

④函数 在某区间上具有单调性，则 一定是单函数．

其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）

【答案】②③

【解析】对于①，若 ，则 ，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意 ，若有两个及以上的原象，也即当 时，不一定有 ，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．

21.（上海文14）设 是定义在 上，以1为周期的函数，若函数 在区间 上的值域为 ，则 在区间 上的值域为_________        

【答案】 

22.（上海理13） 设 是定义在 上，以1为周期的函数，若函数 在区间 上的值域为 ，则 在区间 上的值域为_________           . 

【答案】 

23.（湖南文12）已知 为奇函数， _________．

【答案】6

【解析】 ，又 为奇函数，所以 。

24.（广东文12）设函数 若 ，则  _________．

【答案】-9

25（2010重庆理数）已知函数 满足： ， ，则 =_____________.

解析：取x=1 y=0得 

法一：通过计算 ，寻得周期为6

法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)

      联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故 =f(0)=  

26. （2010福建理数）已知定义域为 的函数 满足：对任意 ，恒有 成立；当 时， 。给出如下结论：

①对任意 ，有 ；②函数 的值域为 ；③存在 ，使得 ；④“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是 “存在 ，使得

 ”。

其中所有正确结论的序号是                。

【答案】①②④

【解析】对①，因为 ，所以 ，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。

【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

27 . （2010江苏卷）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a=_______▲_________

[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

28.（天津文16）设函数 ．对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．

【答案】 ．

【解析】解法1．显然 ，由于函数 对 是增函数，

则当 时， 不恒成立，因此 ．

当 时，函数 在  是减函数，

因此当 时， 取得最大值 ，

于是 恒成立等价于  的最大值 ，

即 ，解 得 ．于是实数 的取值范围是 ．

解法2．然 ，由于函数 对 是增函数，则当 时， 不成立，因此 ．

 ，

因为 ， ，则 ，设函数 ，则当 时为增函数，于是 时， 取得最小值 ．

解 得 ．于是实数 的取值范围是 ．

解法3．因为对任意 ， 恒成立，所以对 ，不等式 也成立，于是 ，即 ，解 得 ．于是实数 的取值范围是 ．