函数与基本初等函数之一次函数二次函数

 3.一次函数、二次函数

•课标解读：

  内容标准：掌握一次、二次函数的性质，学会用配方法研究二次函数的性质；掌握用待定系数法求函数的解析式。

  行为目标：1. 以一次、二次函数为载体学习研究函数性质的一般方法；

            2.掌握配方法、待定系数法以及数形结合的思想方法；

•考纲精析：考纲要求：了解一次二次函数的概念；结合二次函数的图像，了解它们的变化情况。

            命题热点：以二次函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点。

•学情分析：重点：用配方法研究二次函数的性质和图像；

            难点：通过配方式研究二次函数的性质和图像；

            关键：数形结合；

•高考真题：

1.（2010辽宁文数）已知 ，函数 ，若 满足关于 的方程 ，则下列选项的命题中为假命题的是

（A）         （B）        

（C）         （D） 

解析：选C.函数 的最小值是 

等价于 ，所以命题 错误.

2.（2010安徽文数）设 ,二次函数 的图像可能是

.D

【解析】当 时， 、 同号，（C）（D）两图中 ，故 ，选项（D）符合

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 或 两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

3.（2010四川理数）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是

（A）         （B）          （C）           （D） 

解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－  w_w_w.k*s 5*u.c o*m

    于是－ ＝1    m＝－2

答案：A

•基础过关

1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于(　　)

A．－2                     B．－1 

C．1                       D．2

解析：选C.∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数

∴1－a＝0，∴a＝1，故选C.

2．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>2或a<－2            B．－2<a<2

C．a≠±2                  D．1<a<3

解析：选A.f(x)有负值，则必须满足f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，其充要条件是：Δ＝(－a)2－4>0，a2>4即a>2或a<－2.

3．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值为(　　)

A．正数                   B．负数

C．非负数                 D．与m有关

解析：选B.法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝12，

而－m，m＋1关于12对称，

∴f(m＋1)＝f(－m)＜0，故选B.

法二：∵f(－m)＜0，∴m2＋m＋a＜0，

∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＜0.故选B.

4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是(　　)

解析：选D.∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0(用反证法可得)，∴f(0)＝c＜0，∴只能是D.

5．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(52)，f(72)的大小关系是(　　)

A．f(52)＜f(1)＜f(72)           B．f(1)＜f(72)＜f(52)

C．f(72)＜f(1)＜f(52)           D．f(72) ＜f(52)＜f(1)

解析：选A.由f(x＋2)是偶函数可知函数f(x)＝x2＋ax＋b关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)，又该函数图象开口向上，当x＞2时单调递增，故f(52)＜f(3)＝f(1)＜f(72)，故答案为A.

6．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a＜12)、4 m，不考虑树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这颗树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)

[来源:学科网ZXXK]

解析：选C.据题意设BC＝x，则DC＝16－x，要使树围在花圃内，需x≥a16－x≥4⇒a≤x≤12，此时花圃的面积f(x)＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64(a≤x≤12)，当8＜a<12时，有f(a)＝－a2＋16a，当0＜a≤8时有f(a)＝f(8)＝64，综上所述可得：f(a)＝－a2＋16a，8＜a<1264，0＜a≤8，作出图形易知C选项正确．

7．已 知函数f (x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[ 1，b]，则b＝________.

解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，

f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，

∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．

答案：2

8．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

解析：∵α＋β＝m，α•β＝1，∴m＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋12，即m∈(2，52)．

答案：(2，52)

9．已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为________． 

解析：∵f(x)＝k(x－1)2－k，

(1)当k>0时，二次函数图象开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k•32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；

(2)当k<0时，二次函数图象开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.

(3)当k＝0时，显然不成立．

故k的取值集合为{1，－3}．

答案：{1，－3}

10．求下列二次函数的解析式：

(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)；

(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.

解：(1)法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意，得 －b2a＝2，4ac－b24a＝－1，11＝c，解得a＝3，b＝－12，c＝11，

所以y＝3x2－12x＋11.

法二：(顶点 式)设y＝ a(x－2)2－1.

将(0,11)代入可得：11＝4a－1，于是a＝3，

所以y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11.

(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝1，可知c＝1.

而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋ 1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，

由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.

因而a＝1，b＝－1，[来源:Z§xx§k.Com]

所以f(x)＝x2－x＋1.

11．已知函数f( x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．

(1) 若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．

解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，

∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0

⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝32.

(2)∵对一切x∈R函数值均为非负数，

∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤32，

∴a＋3>0，

∵f(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2

＝－a＋322＋174a∈－1，32，

∴二次函数f(a)在－1，32上单调递减．

∴f32≤f(a)≤f(－1)，即－194≤f(a)≤4，

∴f(a)的值域为－194，4.

12．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足：①f(1)＝5；② 6 ＜f(2)＜11.

(1)求a、c的值；

(2)若对任意的实数x∈[12，32]，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，

∴c＝3－a.①

又∵6＜f(2)＜11，即6＜4a＋c＋4＜11，②

将①式代入②式，得－13＜a＜43，[来源:Z&xx&k.Com]

又∵a、c∈N*，∴a＝1，c＝2.

(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.

法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2.

①当－2(1－m)2≤1，即m≤2时，

g(x)max＝g(32)＝294－3m，

故只需294－3m≤1，

解得m≥2512，又∵m≤2，故无解．

②当－2(1－m)2＞1，即m＞2时，

g(x)max＝g(12)＝134－m，

故只需134－m≤1，

解得m≥94.

又∵m＞2，∴m≥94.

综上可知，m的取值范围是m≥94.

法二：∵x∈[12，32]，[来源:学,科,网]

∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立⇔2(1－m)≤－(x＋1x)在[12，32]上恒成立．

易知[－(x＋1x)]min＝ －52，

故只需2(1－m)≤－52即可．

解得m≥94.